Il monaco può usare tutte le armi in cui ha competenza come se fossero armi da monaco?
In tal caso, può combattere con un quarterstaff (usandolo a due mani avendo la capacità Versatile) e usare l'attacco bonus di arti marziali? (immagino un calcio rotante o roba simile)

Inoltre, può usare il danno dell'arma anche sull'attacco extra?

Mi è poco chiaro...

Il monaco può usare tutte le armi in cui ha competenza come se fossero armi da monaco?

Sì.

In tal caso, può combattere con un quarterstaff (usandolo a due mani avendo la capacità Versatile) e usare l'attacco bonus di arti marziali?

Sì.

può usare il danno dell'arma anche sull'attacco extra?

No.

When you use the Attack action with an unarmed strike or a monk weapon on your turn, you can make one unarmed strike as a bonus action.

Non puoi compiere l'attacco extra con l'arma.

Forse ti confondi con:

You can roll a d4 in place o f the normal damage of your unarmed strike or monk weapon.

Puoi usare il dado dell'attacco senz'armi al posto di quello dell'arma, ma non il contrario.