Problema di statistica sul lancio di dadi

[Melercir]

Imposto una formula che dovrebbe servire per fare tutti i conti del caso.

Siano:
n il numero di dadi tirati ed F le facce dei dadi (es.: 2d6 --> n=2 F=6);
R il numero massimo di valori più bassi non validi (es.: se ritiro 1 e 2 --> R = 2);
C il numero di risultati "critici" per dado (non importa qual'è il valore esatto, comunque se è il solo valore massimo C = 1);
X il danno medio addizionale in caso di "critico".

Cominciamo calcolando il danno base che, per ogni dado, è pari al risultato massimo (F) + quello minimo (R+1) il tutto diviso per due ovvero:
(F+R+1)/2

Tirando n dadi il valore medio è, semplicemente, n(F+R+1)/2.

Il critico, nel caso di un solo dado, si ottiene in C casi sul numero di eventi disponibili (che sono pari alle facce del dado meno i risultati non validi, quindi F-R), cioè:
C/(F-R).

Per ottenere la probabilità di avere almeno un "critico" su n dadi è più semplice ragionare sulle probabilità complementari.
La probabilità di non ottenere critico su un solo dado è quindi 1-C/(F-R).
La probabilità di non ottenere nessun critico su n dadi è (1-C/(F-R))^n [elevamento a potenza per chi non avesse familiarità].
La probabilità di ottenere almeno un critico è 1-(1-C/(F-R))^n.

Per chi fosse abituato a trattare le probabilità come percentuali la conversione è 1=100%.

Quindi il danno medio da critico è X(1-(1-C/(F-R))^n).

E, di conseguenza, il danno medio totale è n(F+R+1)/2 + X(1-(1-C/(F-R))^n).

Qualche esempio:
2d6, ritiro 1-2, critico 6, danno extra 3,5 --> n=2; F=6; R=2; C=1; X=3.5 --> danno medio totale = 10.53 [9 di danno medio base + 1.53 di danno medio critico]
2d8, ritiro 1, critico 8, danno extra 4,5 --> n=2; F=8; R=1; C=1; X=3.5 --> danno medio totale = 10.93 [10 di danno medio base + 0.93 di danno medio critico].

La risposta alla domanda "il critico pareggia il maggior danno medio" è complessa perché dipende, in generale, da troppe variabili (tutte quelle elencate, di fatto).

Semplifichiamo leggermente il problema chiamando B il danno base e P la probbailità di "critico".

Il danno medio totale diventa quindi B + PX.

Se abbiamo due armi (1) e (2) per le quali vogliamo D1 = D2, l'equazione, in X, diventa B1 + P1X = B2 + P2X, che ammette soluzione in X pari a:
X=(B2-B1)/(P1-P2).

Quindi, poichè il risultato vuole essere un numero positivo, se l'arma 2 ha un maggior danno base deve avere una minore probabilità di critico, come da aspettative.

Nei due esempi di cui sopra le probabilità di critico sono 0,44 e 0,27 quindi X = (10-9)/(0,44-0,27) = 5.88 circa.

[Aleph]

quindi effettivamente con X=6 il danno della prima arma è maggiore? (senza considerare i dadi extra 1/20 delle volte)

[Blood_of_demon]

quindi effettivamente con X=6 il danno della prima arma è maggiore? (senza considerare i dadi extra 1/20 delle volte)

con x=6 e senza considerare quello che succede se fai 20 abbiamo:
arma 1)=375/32=11,72
arma 2)=571/49=11,65

Per fare il valore atteso di qualcosa bisogna fare:
E(x)=sommatoria (valore di x*probabilità che abbia quel valore) per ogni valore di x

[Melercir]

quindi effettivamente con X=6 il danno della prima arma è maggiore? (senza considerare i dadi extra 1/20 delle volte)

Leggermente maggiore sì, ma in maniera praticamente insignificante (circa 4pf ogni 100 colpi andati a segno).
Quella dell'1/20 però non l'ho mica capita tanto bene...

[Aleph]

che quando l'arma 2 fa un critico (con 20 sul D20 al tiro per colpire) somma danni extra rispetto alla prima. quindi immagino che è praticamente sempre meglio la seconda, anche con X=6 (visto che a quel punto ci si somma 6D8 al danno, anche questi ritiro 1)

EDIT:
ARGH! ho scazzato un particolare, è l'arma 1 ad avere il critico migliore dell'arma due (ovvero, è la prima che quando si tira un 20 di dado somma 2-4-6D6 al danno... e tutti questi danni con ritira 1..)
a questo punto, abbassa il valore di X di qualche punto?

[Blood_of_demon]

Allora ricapitolo le due armi a cui mi riferisco per fare i conti:
arma 1) danni 2d6, si ritirano gli 1 e 2, quando viene almeno un 6 si aggiunge più x, se si fa 20 col dado si aggiungono ((x+1)/2)d6 (arrotondati per difetto) di questi d6 si ritira solo gli 1
arma 2) danni 2d8, si ritirano gli 1, quando viene fatto almeno un 8 si aggiunge più x.

arma 1) Valore atteso danni=(6+x+k)*7/16[Probabilità che esca almeno un 6]+(2y)*9/16[Probabilità che non esca nemmeno un 6]+1/20 [probabilità di aggiungere questo danno]*((x+1)/2)*j)==42/16+7x/16+7k/16+18y/16+(jx+j)/40=291/32+7x/16+1/10+x/10=2942/320+86x/160
arma 2) Valore atteso danni=(8+x+h)*13/49[Probabilità che esca almeno un 8]+(2z)*36/49[Probabilità che non esca nemmeno un 8]=104/49+13x/49+13h/49+72z/49=493/49+13x/49
con y [3,5] e k [3,6] e z [2,7] e h [2,8] e j [2,6]
quindi arma 2 è meglio finché x<6801/2134 (circa 3,2)

[Blackstorm]

Quindi l'arma 1 è migliore, dla momento che il potenziamento va a salire.

[Melercir]

Un altro dubbio.

Secondo Blood_of_demon:

arma 1) Valore atteso danni=(12+2x)*1/16[Probabilità che escano due 6]+(6+y+x)*6/16[Probabilità che esca almeno un 6, escludendo il caso dei due 6]+(2y)*9/16[Probabilità che non esca nemmeno un 6]=3+x/2+3y/2

quindi nella sua interpretazione sommo X per ogni 6 fatto col lancio dei 2d6.
Nel mio calcolo sommo X una sola volta se esce almeno un 6.

Qual'è l'interpretazione corretta?

[Melercir]

che quando l'arma 2 fa un critico (con 20 sul D20 al tiro per colpire) somma danni extra rispetto alla prima. quindi immagino che è praticamente sempre meglio la seconda, anche con X=6 (visto che a quel punto ci si somma 6D8 al danno, anche questi ritiro 1)

EDIT:
ARGH! ho scazzato un particolare, è l'arma 1 ad avere il critico migliore dell'arma due (ovvero, è la prima che quando si tira un 20 di dado somma 2-4-6D6 al danno... e tutti questi danni con ritira 1..)
a questo punto, abbassa il valore di X di qualche punto?

Ok, quindi con probabilità 1/20 l'arma 1 somma un danno che, purtroppo, non è funzione lineare di X.
Questo complica leggermente le cose perché non si può impostare un'equazione lineare.

Facciamo quindi dapprima la situazione 'semplificata' in cui il danno extra in caso di critico sia pari a Xd6, con risultati validi tra 2 e 6. Il valore medio di tale danno è 4X.

Il danno totale medio aggiuntivo dell'arma 1 diventa 1/20(4X) = X/5.

La condizione di equilibrio tra le due armi diventa quindi X = (B2-B1)/(P1+1/5-P2).

Con i parametri come sopra la soluzione è X=2.7

Tale soluzione semplificata vale in realtà per i soli X pari. Per gli X dispari occorre introdurre la formula di calcolo del danno da critico pari a (X+1)d6, con valore medio 4(X+1)

Il danno totale medio aggiuntivo, in questo caso, diventa (X+1)/5.

L'equazione in X risultante ha soluzione X=(B2-B1-1/5)/(P1+1/5-P2) con valore X=2,14 come soluzione reale.

Purtroppo nessuno dei due valori è ottimale in quanto2,7 è vicino a 3 che è un valore dispari nell'equazione "pari" e 2.14 è vicino a 2 che è valore pari nell'equazione "dispari".

Non resta quindi che calcolare in danno per valori di X pari a 2 e 3.

Applicando le formule fin qui descritte si ottiene D1=10,28 D2=10,53 per X=2 e D1=11,11 D2=10,80 per X=3. Tra i due il valore X=2 è leggermente più equilibrato, ma stiamo sempre parlando di meno di 1PF per attacco per cui anche X=3 può andare bene.

Spero di non aver sbagliato qualche passaggio, ma ho fatto di fretta...

[Blood_of_demon]

Se guardi bene ho fatto i conti con ambedue le interpretazioni, gli ultimi che ho scritto sono tenendo conto che x lo aggiungi se fai almeno un sei (se ne fai 2 aggiungi sempre x) e con le proprietà corrette delle armi.

Comunque per sfatare ogni dubbio:
Arma 1
Risultati--Danni
3-3--6
3-4--7
3-5--8
3-6--9+x
4-3--7
4-4--8
4-5--9
4-6--10+x
5-3--8
5-4--9
5-5--10
5-6--11+x
6-3--9+x
6-4--10+x
6-5--11+x
6-6--12+x

Sommando tutti i danni viene 144+7x e dividendo per 16 (=casi totali) viene 9+7x/16 a questo dobbiamo e possiamo aggiungere (perché le proprietà sono indipendenti) quello che succede se fai 20 che è x/5 per x pari e (x+1)/5 per x dispari

Per arma 2

Risultati--Danni
2-2--4
2-3--5
2-4--6
2-5--7
2-6--8
2-7--9
2-8--10+x
3-2--5
3-3--6
3-4--7
3-5--8
3-6--9
3-7--10
3-8--11+x
4-2--6
4-3--7
4-4--8
4-5--9
4-6--10
4-7--11
4-8--12+x
5-2--7
5-3--8
5-4--9
5-5--10
5-6--11
5-7--12
5-8--13+x
6-2--8
6-3--9
6-4--10
6-5--11
6-6--12
6-7--13
6-8--14+x
7-2--9
7-3--10
7-4--11
7-5--12
7-6--13
7-7--14
7-8--15+x
8-2--10+x
8-3--11+x
8-4--12+x
8-5--13+x
8-6--14+x
8-7--15+x
8-8--16+x

Sommando tutti i danni viene 490+13x e dividendo per 49 (=casi totali) viene (490+13x)/49=10+13x/49

per cui 10+13x/49=9+7x/16+x/5 con x pari qua viene che 2 è meglio per x<3920/1459 circa 2,7
per cui 10+13x/49=9+7x/16+(x+1)/5 con x dispari qua viene che arma 2è meglio per x<15680/7295 circa 2,15
per cui facendo i conti come già fatto con x=2 e x=3 abbiamo che arma 2 è meglio finché x<3 e arma 1 è meglio per x>=3

[D@rK-SePHiRoTH-]

Però ricordo anche che l'efficienza non dipende solo dal danno medio, ma anche dall'affidabilità.
Un'arma che fa da 1 a 20 danni non è uguale a una che ne fa da 9 a 12. Dipende soprattutto dall'ambiente e dal nemico affrontato.
Se tutti i nemici in un dato combattimento hanno esattamente 9 PF (caso esemplificativo) la seconda arma è indubbiamente superiore.
Se però ne hanno 13, la prima arma è superiore nel primo round (avendo una probabilità di ucciderli al primo colpo, cosa che la seconda arma non ha) mentre la seconda è superiore a partire dal secondo round (dove la prima ha ancora una percentuale di fallimento, che la seconda non ha più). Queste situazioni si presentano più spesso di quanto si pensi, perché non si riferiscono solo ai PF totali, ma si applicano anche a quei casi in cui si parla di PF rimanenti. E il risultato può essere un round di combattimento in più o in meno, il che non è poco.

In generale un'arma più affidabile permette di fare previsioni più precise. Con un'arma che fa sempre 10 danni, sono sicuro di uccidere un mostro da 100 PF in 10 colpi. Questo è un potenziale vantaggio strategico. Inoltre va considerato che il vantaggio di riuscire a concatenare tanti tiri alti è un vantaggio irrisorio (i PG mediamente vincono comunque) ma lo svantaggio di concatenare tanti danni bassi è gravissimo e potenzialmente letale.
D'altra parte, un'arma con più varianza (specialmente se ha Alto Critico) è più divertente.